Question

已知椭圆+=1（a＞b＞0）的一个焦点坐标为（，0），短轴一顶点与两焦点连线夹角为120°．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为（-a，0），点Q（0，m）在线段AB的垂直平分线上且≤4，求m的取值范围．

Answer 1

解：（1）由题意知a=2b，c=，a²=b²+c²
解得a=2，b=1，∴椭圆方程为+y²=1

（2）由（1）可知A（-2，0），设B点坐标为（x₁，y₁），
直线l的方程为y=k（x+2）
于是A、B两点的坐标满足方程组
由方程消去y并整理得：（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0
由-2x₁=得x₁=，从而y₁=
设线段AB的中点为M，则M的坐标为（-，）

以下分两种情况：
①当k=0时，点B的坐标为（2，0），线段AB的垂直平分线为y轴，
于是=（-2，-m），=（2，-m），
由≤4
得：-2≤m≤2

②当k≠0时，线段AB的垂直平分线方程为
y-=-（x+）
令x=0，得m=-
由=-2x₁-m（y₁-m）

=+（+）
=≤4
解得-≤k≤且k≠0

∴m=-=-
∴当-≤k＜0时，+4k≤-4
当0＜k≤时，+4k≥4
∴-≤m≤，且m≠0

综上所述，-≤m≤，且m≠0

分析：（1）由题意知a=2b，c=，a²=b²+c²，由此能得到椭圆方程．
（2）由A（-2，0），设B（x₁，y₁），直线l的方程为y=k（x+2），知A、B两点的坐标满足方程组，由方程消去y并整理得：（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0，由-2x₁=得x₁=，从而y₁=，设线段AB的中点为M，则M的坐标为（-，．然后再分类讨论进行求解．
点评：本题考查椭圆方程的求法和求m的取值范围．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐条件，解题时要注意分类讨论思想的应用．