Question

已知数列{b_n}是等差数列，b₁=1,b₁+b₂+…+b₁₀=145(n∈N₊)

(1)求数列{b_n}的通项.

（2）设数列{a_n}的通项a_n=log_a(1+)(其中a＞0且a≠1),记S_n是数列{a_n}的前n项和，试比较S_n与log_ab_n+1的大小，并证明你的结论.

Answer 1

解：(1)设数列{b_n}的公差为d,

由题意，得10×1+×d=145,

∴d=3,b_n=3n-2.

(2)由b_n=3n-2知,

S_n=log_a(1+1)+log_a(1+)+…+log_a(1+)

=log_a［(1+1)(1+)…(1+)］,

log_ab_n+1=log_a.

因此要比较S_n与log_ab_n+1的大小，可先比较（1+1）(1+)…(1+)与的大小.

取n=1,有(1+1)＞,

取n≥2，有(1+1)(1+)…(1+)＞.

下面用数学归纳法证明之：

①当n=1时，已验证不等式成立.

②假设当n=k(k∈N ₊)时，不等式成立，

即(1+1)(1+)…(1+)＞,

则当n=k+1时,

(1+1)(1+)…(1+)［1+］＞(1+)

=·(3k+2).

∵［(3k+2)］³-()³

=＞0.

∴+1·(3k+2)＞=.

因此(1+1)(1+)…(1+)［1+］＞.

这说明，当n=k+1时，不等式也成立.

由①②知，对一切n∈N ₊,不等式(1+1)(1+)…(1+)＞都成立.

再由对数的性质，可得：

当a＞1时，S_n＞log_ab_n+1;

当0＜a＜1时,S_n＜log_ab_n+1.