Question

（2011•闸北区三模）在△ABC中，A、B为定点，C为动点，记∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，已知c=2，abcos2

C

2

=1．
（1）证明：动点C一定在某个椭圆上，并求出该椭圆的标准方程；
（2）设点O为坐标原点，过点B作直线l与（1）中的椭圆交于M，N两点，若OM⊥ON，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）根据c=2，abcos2

C

2

=1以及余弦定理可得动点C到定点A、B的距离和为定值，且定值大于AB的长，满足椭圆的定义，从而可求出椭圆的方程；
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），讨论直线的斜率是否存在，然后根据OM⊥ON，所以

OM

•

ON

=0，即x₁•x₂+y₁•y₂=0建立方程，从而可求出k的值得到直线l的方程．

解答：解：（1）在△PAB中，由余弦定理，有2²=a²+b²-2abcosC，|a+b|=

4+2ab(1+cosC)

=2

1+abcos2 C 2

=2

2

＞2，
所以，点P的轨迹C是以A，B为焦点，长轴长2a=2

2

的椭圆．
如图，以A、B所在的直线为x轴，以A、B的中点为坐标原点建立直角坐标系．
则A（-1，0），B（1，0）．
椭圆C的标准方程为：

x2

2

+y2=1．
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
①当MN垂直于x轴时，MN的方程为x=1，不符题意．
②当MN不垂直于x轴时，设MN的方程为y=k（x-1）．
由

x2 2 +y2=1 y=k(x-1)

得：[1+2k²]x²-4k²x+2（k²-1）=0，
所以x1+x2=

4k2

1+2k2

，x1•x2=

2(k2-1)

1+2k2

．
于是：y1•y2=k2(x1-1)(x2-1)=k2[x1x2-(x1+x2)+1]=

-k2

1+2k2

．
因为OM⊥ON，所以

OM

•

ON

=0，
所以x1•x2+y1•y2=

k2-2

1+2k2

=0，
所以，k=±

2

，
所以，直线l的方程为：y=±

2

(x-1)．

点评：本题主要考查了椭圆的判断以及椭圆方程的求解，直线与椭圆的位置关系，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．