Question

已知函数y=2x²-2ax+3在区间[-1，1]上的最小值是f（a）．
（1）求f（a）的解析式；
（2）讨论函数φ（a）=log_0.5f（a）在 a∈[-2，2]时的单调性（不需证明）．

Answer 1

分析：（1）分

a

2

＜-1、-1≤

a

2

≤-1、

a

2

≥1三种情况，分别利用二次函数的性质求出函数y=2x²-2ax+3在区间[-1，1]上的最小值．
（2）当-2≤a≤0时，f（a）=3-

a2

2

是增函数，利用复合函数的单调性可得函数φ（a）=log_0.5f（a）在[-2，0]上是减函数，同理可得，数φ（a）在[0，2]上的单调性．

解答：解：（1）当

a

2

＜-1时，函数y=2x²-2ax+3在区间[-1，1]上是增函数，故当x=-1时，函数取得最小值是  f（-1）=2a+5．
当-1≤

a

2

≤-1时，由于函数y=2x²-2ax+3对称轴是x=

a

2

，故当x=

a

2

时，函数在区间[-1，1]上取得最小值是 f（

a

2

）=3-

a2

2

．
当

a

2

≥1时，函数y=2x²-2ax+3在区间[-1，1]上是减函数，故当x=1时，函数取得最小值是 f（1）=5-2a．
综上可得 f（a）=

2a+5 ，  a＜-2 3- a2 2  ，   -2≤a≤2 5-2a ，  a≥2

．
（2）当-2≤a≤0时，f（a）=3-

a2

2

在[-2，0]上是增函数，由复合函数的单调性可得函数φ（a）=log_0.5f（a）在[-2，0]上是减函数．
同理可得，数φ（a）=log_0.5f（a）在[0，2]上是增函数．

点评：本题主要考查二次函数的性质应用，复合函数的单调性，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．