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选修4—1:几何证明选讲

D、E分别为△ABC的边AB、AC上的点,且不与△ABC的顶点重合。已知AE的长为,AC的长为,AD、AB的长是关于的方程的两个根。

(1)证明:C、B、D、E四点共圆;

(2)若∠A=90°,,且,求C、B、D、E所在圆的半径。

(I)连接DE,根据题意在△ADE和△ACB中,

                

.又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB  因此∠ADE=∠ACB                                 

 所以C,B,D,E四点共圆。

(Ⅱ)m=4, n=6时,方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2,x2=12.故  AD=2,AB=12.

取CE的中点G,DB的中点F,分别过G,F作AC,AB的垂线,两垂线相交于H点,连接DH.因为C,B,D,E四点共圆,所以C,B,D,E四点所在圆的圆心为H,半径为DH.

由于∠A=900,故GH∥AB, HF∥AC. HF=AG=5,DF= (12-2)=5.

故C,B,D,E四点所在圆的半径为5

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