Question

三次函数f（x）=x³-3bx+3b在[1，2]内恒为正值，求b的取值范围．

Answer 1

分析：由f（x）＞0在[1，2]内恒成立，即3b（x-1）＜x³．对x分类讨论：①当x=1时，上式对于b∈R都成立；②当1＜x≤2时，f（x）＞0在[1，2]内恒成立?3b＜

x3

x-1

恒成立?3b＜[

x3

x-1

]min，x∈（1，2]，利用导数求出其最小值即可．

解答：解：由f（x）＞0在[1，2]内恒成立，即3b（x-1）＜x³．
①当x=1时，上式对于b∈R都成立；
②当1＜x≤2时，f（x）＞0在[1，2]内恒成立?3b＜

x3

x-1

恒成立，x∈（1，2]?3b＜[

x3

x-1

]min，x∈（1，2]．
令g（x）=

x3

x-1

，x∈（1，2]，则g′(x)=

2x2(x- 3 2 )

(x-1)2

，由g^′（x）=0，解得x=

3

2

．
列表如下：
由表格可知：当x=

3

2

时，g（x）取得极小值，也即最小值，g(

3

2

)=

( 3 2 )3

3 2 -1

=

27

4

．
∴3b＜

27

4

，解得b＜

9

4

．
综上①②可知：b的取值范围是(-∞，

9

4

)．

点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值、分类讨论的思想方法、恒成立问题的等价转化是解题的关键．