Question

设抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点，若△BDF为等边三角形，△ABD的面积为6，则p的值为

3

，圆F的方程为

(x-

3

2

)2+y2=12

．

Answer 1

分析：由题意可得 p=

3

2

BD，半径为AF=BD=BF，根据△ABD的面积为6=

1

2

•

4p2

3

 求得 p的值，由此可得焦点F（

3

2

，0），
半径AF=BD=2

3

，由此求得圆的方程．

解答：解：∵△BDF为等边三角形，∴p=

3

2

BD，∴BD=

2p

3

．
由抛物线的定义可得，点A到准线l的距离h等于圆的半径AF=BF=BD．
∵△ABD的面积为6=

1

2

•BD•h=

1

2

•

4p2

3

，∴p=3．
故焦点F（

3

2

，0），半径AF=BD=2

3

，故圆的方程为 (x-

3

2

)2+y2=12，
故答案为 3，(x-

3

2

)2+y2=12．

点评：本题主要考查抛物线的定义、圆的标准方程以及三角形的面积，属于中档题．