Question

3．已知函数f（x）=x²+（a+1）x+lg|a+2|（a∈R，且a≠-2）．
（1）若f（x）能表示成一个奇函数g（x）和一个偶函数h（x）的和，求g（x）和h（x）的解析式；
（2）已知P={a|函数f（x）在区间[（a+1）²，+∞）上是增函数}；Q={a|函数g（x）是减函数}．求（P∩C_RQ）∪（Q∩C_RP）；
（3）在（2）的条件下，比较f（2）与3-lg2的大小．

Answer 1

分析 （1）设f（x）=g（x）+h（x），利用函数的奇偶性，组成方程组，即可求得函数的解析式；
（2）将函数f（x）配方，利用函数在区间[（a+1）²，+∞）上是增函数，可得命题P为真的条件；利用函数g（x）=（a+1）x是减函数，可得命题Q为真的条件，从而可求命题P、Q有且仅有一个是真命题，即（P∩C_RQ）∪（Q∩C_RP）；
（3）由（1）得f（2）=2a+lg|a+2|+6，确定函数v（a）=2a+lg（a+2）+6，在区间[-$\frac{3}{2}$，+∞）上为增函数，即可求得结论

解答 解：（I）∵f（x）=g（x）+h（x），g（-x）=-g（x），h（-x）=h（x），
∴f（-x）=-g（x）+h（x），
∴g（x）=$\frac{1}{2}$[f（x）-f（-x）]=$\frac{1}{2}$[x²+（a+1）x+lg|a+2|-x²+（a+1）x-lg|a+2|]=（a+1）x
h（x）=$\frac{1}{2}$[f（x）+f（-x）]=$\frac{1}{2}$[x²+（a+1）x+lg|a+2|+x²-（a+1）x+lg|a+2|]=x²+lg|a+2|；
（II）∵函数f（x）=x²+（a+1）x+lg|a+2|=（x+$\frac{a+1}{2}$）²-$\frac{（a+1）^{2}}{4}$+lg|a+2|在区间[（a+1）²，+∞）上是增函数，
∴（a+1）²≥-$\frac{a+1}{2}$，解得a≥-1或a≤-$\frac{3}{2}$且a≠-2
又由函数g（x）=（a+1）x是减函数，得a+1＜0，
∴a＜-1且a≠-2
∴命题P为真的条件是：P={a|a≥-1或a≤-$\frac{3}{2}$且a≠-2}，Q={a|a＜-1且a≠-2}．
∴（P∩C_RQ）∪（Q∩C_RP）={a|a＞-$\frac{3}{2}$}；
（III）由（I）得f（2）=2a+lg|a+2|+6，
∵a＞-$\frac{3}{2}$，
∴f（2）=2a+lg（a+2）+6，
设函数v（a）=2a+lg（a+2）+6，
v′（a）=2+$\frac{1}{（a+2）ln10}$＞0．
∴函数v（a）在区间[-$\frac{3}{2}$，+∞）上为增函数．
又∵v（-$\frac{3}{2}$）=3-lg2，
∴当a＞-$\frac{3}{2}$时，v（a）＞v（-$\frac{3}{2}$），
即f（2）＞3-lg2

点评 本题考查函数单调性与奇偶性的结合，考查函数的单调性，考查大小比较，正确运用函数的单调性是关键