Question

如图，过圆锥轴的截面为等腰直角三角形SAB，Q为底面圆周上一点，已知，圆锥体积为，点O为底面圆的圆心．
（1）．求该圆锥的侧面积；
（2）．设异面直线SA与BQ所成角的大小为θ，求tanθ的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）设底面圆的半径为R，则高R=SO，利用体积公式求出R，再求出侧面积．
（2）连接QO并延长交圆周于C点，再连接AC，AQ，BC，SC，则AO=BO=QO=OC，所以 四边形AQBC是平行四边形，AC∥QB，∠SAC的大小为异面直线SA与BQ所成角θ的大小．
解答：解（1）设底面圆的半径为R，则由题意得R=SO，----（1分）
∵，∴R=2----------------（3分）
母线的长为，-------------（4分）
所以，圆锥的侧面积为-------------（6分）
（2）连接QO并延长交圆周于C点，
 再连接AC，AQ，BC，SC，------（7分）
则AO=BO=QO=OC，所以 四边形AQBC是平行四边形，AC∥QB，
∠SAC的大小为异面直线SA与BQ所成角θ的大小-----（10分）
由（1）知，在△SAC中，，------------------（11分）
过点S作SH⊥AC于点H，
则，∴---------------（14分）
点评：本题主要考查空间角，圆锥体积，侧面积计算，考查了空间想象能力、计算能力，分析解决问题能力．空间问题平面化是解决空间几何体问题最主要的思想方法．