Question

如图，已知抛物线y²=2px（p＞0）有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边OA与OB的长分别为1和8，求抛物线方程．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：依题意，设直线OA的方程为y=kx（k≠0），则直线OB的方程为y=-

1

k

x，分别联立直线与抛物线方程y²=2px，可求得A、B两点的坐标，利用，|OA|=1，|OB|=8，即可求得k与p的值，从而可得抛物线方程．

解答： 解：设直线OA的方程为y=kx（k≠0），则直线OB的方程为y=-

1

k

x，
由

y=kx y2=2px

得：x=0或x=

2p

k2

，
∴A（

2p

k2

，

2p

k

），同理可得B（2pk²，-2pk），
由图知，|OA|=1，|OB|=8，
∴（

2p

k2

-0）²+（

2p

k

-0）²=1，即4p²•

k2+1

k4

=1①，
（2pk²-0）²+（-2pk-0）²=64，即4p²•k²（k²+1）=64②，

②

①

得：k⁶=64，k²=4，代入①得：p²=

4

5

，又p＞0，
∴p=

2 5

5

．
∴抛物线方程为：y²=

4 5

5

x．

点评：本题考查抛物线的标准方程，着重考查两点间的距离公式的应用，考查方程思想与运算能力，属于难题．