Question

（2012•上海二模）设双曲线

x2

4

-y²=1的右焦点为F，点P₁、P₂、…、P_n是其右上方一段（2≤x≤2

5

，y≥0）上的点，线段|P_kF|的长度为a_k，（k=1，2，3，…，n）．若数列{a_n}成等差数列且公差d∈（

1

5

，

5

5

），则n最大取值为

14

．

Answer 1

分析：根据双曲线的第二定义，可得|P_kF|的长度a_k=

5

2

x_k-2，结合题意2≤x_k≤2

5

得n取最大值时d=

5- 5

n-1

，再解不等式

1

5

＜

5- 5

n-1

＜

5

5

，找出它的最大整数解，即得n的最大值．

解答：解：由题意，得a²=4，b²=1，c=

a2+b2

=

5

，可得 双曲线 的右准线为：x=

a2

c

，即x=

4 5

5

设P_k坐标为（x_k，y_k），P_k到右准线的距离为d_k（k=1，2，3，…，n），
根据双曲线的第二定义，得

|PkF|

dk

=e=

5

2

，
∴|P_kF|=

5

2

d_k=

5

2

（x_k-

4 5

5

）=

5

2

x_k-2
∵|P_kF|的长度为a_k，∴a_k=

5

2

x_k-2
∵数列{a_n}成等差数列，且公差d∈（

1

5

，

5

5

），
∴

an-a1

n-1

=

5 2 (xn-x1)

n-1

∈（

1

5

，

5

5

），
∵2≤x_k≤2

5

，（k=1，2，3，…，n），公差d是正数
∴0＜x_n-x₁≤2

5

-2，得n取最大值时d=

5 2 (2 5 -2)

n-1

=

5- 5

n-1

∴

1

5

＜

5- 5

n-1

＜

5

5

，解之得5

5

-4＜n＜26-5

5

因为26-5

5

≈14.82，所以满足条件的最大整数n=14
故答案为：14

点评：本题以双曲线为载体，在它的n条焦半径成等差数列并知道公差范围的情况下，求项数n的最大值，着重考查了双曲线的简单几何性质和等差数列的通项公式等知识，属于中档题．