Question

某整数集合A既含有正整数，也含有负整数，而且如果a和b是它的元素，那么2a和a＋b也是它的元素，证明：集合A包含它的任意两个元素之差．

Answer 1

证明：不难证明：如果整数c是集合A的元素，而n是自然数，那么nc也属于集合A．

因为集合A既含有正整数，也含有负整数，根据最小数原理，集合A存在最小的正整数a和绝对值最小的负整数b．这两个数的和a＋b也应该属于集合A，而且满足不等式．

b＜a＋b＜a

但是集合A不含有小于a的正数和大于b的负数，所以a＋b只能等于0．因此，数0属于集合A，且b＝－a．根据前面所证，集合A包含数a的所有整数倍．

设x∈A，则由带余数除法，存在整数q、r，使x＝qa＋r(0≤r＜a)．于是r＝x＋(－qa)∈A．由于0≤r＜a，必有r＝0．即A中的数均为a的整数倍．

既然集合A的元素都是a的整数倍，因此集合A的任意两个元素之差也是元素a的整数倍，因而属于集合A．