Question

若集合A具有以下性质：①0∈A，1∈A；②若x，y∈A，则x-y∈A，且x≠0时，

1

x

∈A．则称集合A是“好集”．
（Ⅰ）分别判断集合B={-1，0，1}，有理数集Q是否是“好集”，并说明理由；
（Ⅱ）设集合A是“好集”，求证：若x-y∈A，则x+y∈A；
（Ⅲ）对任意的一个“好集”A，分别判断下面命题的真假，并说明理由．
命题p：若x，y∈A，则必有xy∈A；
命题q：若x，y∈A，且x≠0，则必有

y

x

∈A．

Answer 1

分析：（1）利用“好集”的概念和集合B，能够推导出集合B不是“好集”，有理数集Q是“好集”．
（2）集合A是“好集”，利用“好集”的概念，能够证明若x-y∈A，则x+y∈A．
（3）利用“好集”的概念，由任意的一个“好集”A，能够推导出命题p：若x，y∈A，则必有xy∈A和命题q：若x，y∈A，且x≠0，则必有

y

x

∈A都是真命题．

解答：（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）集合B不是“好集”．
理由是：假设集合B是“好集”．
因为-1∈B，1∈B，所以-1-1=-2∈B．这与-2∉B矛盾．…（2分）
有理数集Q是“好集”．因为0∈Q，1∈Q，
对任意的x，y∈Q，有x-y∈Q，且x≠0时，

1

x

∈Q．
所以有理数集Q是“好集”．…（4分）
（Ⅱ）因为集合A是“好集”，
所以 0∈A．若x，y∈A，则0-y∈A，即-y∈A．
所以x-（-y）∈A，即x+y∈A．…（7分）
（Ⅲ）命题p，q均为真命题．理由如下：…（9分）
对任意一个“好集”A，任取x，y∈A，
若x，y中有0或1时，显然xy∈A．
下设x，y均不为0，1．由定义可知：x-1，

1

x-1

，

1

x

∈A．
所以

1

x-1

-

1

x

∈A，即

1

x(x-1)

∈A．
所以x（x-1）∈A．
由（Ⅱ）可得：x（x-1）+x∈A，即x²∈A．同理可得y²∈A．
若x+y=0或x+y=1，则显然（x+y）²∈A．
若x-y=0，或x-y=1，则（x-y）²∈A．
所以2xy=（x+y）²-x²-y²∈A．
所以

1

2xy

∈A．
由（Ⅱ）可得：

1

xy

=

1

2xy

+

1

2xy

∈A．
所以 xy∈A．
综上可知，xy∈A，即命题p为真命题．
若x，y∈A，且x≠0，则

1

x

∈A．
所以

y

x

=y•

1

x

∈A，即命题q为真命题．…（14分）

点评：本题考查命题的真假的判断和应用，综合性强，难度大．解题时要认真审题，熟练掌握“好集”的概念，合理地进行等价转化．