Question

已知a³+b³=2，求证：a+b≤2．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：推理和证明

分析：证法一：利用反证法，假设a+b＞2，利用立方和公式与基本不等式，导出矛盾，从而可证原结论成立．
证法二：假设a+b＞2，则a＞2-b，2=a³+b³＞（2-b）³+b³，整理得出（b-1）²＜0，导出矛盾式，从而可肯定原结论成立．

解答： 证法一：假设a+b＞2，则?
a³+b³=（a+b）（a²-ab+b²）＞2（a²-ab+b²），而a³+b³=2，故a²-ab+b²＜1，?
∴1+ab＞a²+b²≥2ab，?
从而ab＜1．?
∴a²+b²＜1+ab＜2．?
∴（a+b）²=a²+b²+2ab＜2+2ab＜4．?
∴a+b＜2．?
这与假设矛盾，故a+b≤2．
证法二：假设a+b＞2，则a＞2-b，故?
2=a³+b³＞（2-b）³+b³，?
即2＞8-12b+6b²，即（b-1）²＜0，?
这不可能，从而a+b≤2．

点评：本题考查不等式的证明，着重考查反证法，有的推至与已知矛盾，有的推至与已知事实矛盾，考查推理论证能力，属于中档题．