Question

（2013•湖南）如图，在直棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=AA₁=3．
（Ⅰ）证明：AC⊥B₁D；
（Ⅱ）求直线B₁C₁与平面ACD₁所成的角的正弦值．

Answer 1

分析：（I）根据直棱柱性质，得BB₁⊥平面ABCD，从而AC⊥BB₁，结合BB₁∩BD=B，证出AC⊥平面BB₁D，从而得到AC⊥B₁D；
（II）根据题意得AD∥B₁C₁，可得直线B₁C₁与平面ACD₁所成的角即为直线AD与平面ACD₁所成的角．连接A₁D，利用线面垂直的性质与判定证出AD₁⊥平面A₁B₁D，从而可得AD₁⊥B₁D．由AC⊥B₁D，可得B₁D⊥平面ACD₁，从而得到∠ADB₁与AD与平面ACD₁所成的角互余．在直角梯形ABCD中，根据Rt△ABC∽Rt△DAB，算出AB=

3

，最后在Rt△AB₁D中算出B₁D=

21

，可得cos∠ADB₁=

21

7

，由此即可得出直线B₁C₁与平面ACD₁所成的角的正弦值．

解答：解：（I）∵BB₁⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥BB₁，
又∵AC⊥BD，BB₁、BD是平面BB₁D内的相交直线
∴AC⊥平面BB₁D，
∵B₁D?平面BB₁D，∴AC⊥B₁D；
（II）∵AD∥BC，B₁C₁∥BC，∴AD∥B₁C₁，
由此可得：直线B₁C₁与平面ACD₁所成的角等于直线AD与平面ACD₁所成
的角（记为θ），连接A₁D，
∵直棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠BAD=∠B₁A₁D₁=90°，
∴B₁A₁⊥平面A₁D₁DA，结合AD₁?平面A₁D₁DA，得B₁A₁⊥AD₁
又∵AD=AA₁=3，∴四边形A₁D₁DA是正方形，可得AD₁⊥A₁D
∵B₁A₁、A₁D是平面A₁B₁D内的相交直线，∴AD₁⊥平面A₁B₁D，可得AD₁⊥B₁D，
由（I）知AC⊥B₁D，结合AD₁∩AC=A可得B₁D⊥平面ACD₁，从而得到∠ADB₁=90°-θ，
∵在直角梯形ABCD中，AC⊥BD，∴∠BAC=∠ADB，从而得到Rt△ABC∽Rt△DAB
因此，

AB

DA

=

BC

AB

，可得AB=

BC•DA

=

3

连接AB₁，可得△AB₁D是直角三角形，
∴B₁D²=B₁B²+BD²=B₁B²+AB²+BD²=21，B₁D=

21

在Rt△AB₁D中，cos∠ADB₁=

AD

B1D

=

3

21

=

21

7

，
即cos（90°-θ）=sinθ=

21

7

，可得直线B₁C₁与平面ACD₁所成的角的正弦值为

21

7

．

点评：本题给出直四棱柱，求证异面直线垂直并求直线与平面所成角的正弦之值，着重考查了直四棱柱的性质、线面垂直的判定与性质和直线与平面所成角的定义等知识，属于中档题．