Question

已知m∈R，函数f（x）=（x²+mx+m）e^x．
（Ⅰ）若m=-1，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若函数f（x）没有零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意可得f'（x）=（x+2）（x-1）e^x，
令f'（x）=0得x=-2或x=1，…（2分）x，f（x），f'（x）的关系列表如下：

x	（-∞，-2）	-2	（-2，1）	1	（1，+∞）
f（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	f（-2）为极大值	↘	f（1）为极小值	↗

由表可得，f（x）在x=-2取到极大值f（-2）=，f（x）在x=-1取到极小值f（1）=-e．

（Ⅱ）令f（x）=0，得（x²+mx+m）•e^x=0，所以x²+mx+m=0

因为函数f（x）没有零点，所以△=m²-4m＜0

所以0＜m＜4

分析：（I）先求函数的导函数，然后研究导函数的符号，从而确定函数的极值点，代入函数解析式即可求出极值；
（Ⅱ）令f（x）=0，得（x²+mx+m）•e^x=0，所以x²+mx+m=0，根据函数f（x）没有零点，可得△=m²-4m＜0，从而可求实数m的取值范围．
点评：本题以函数为载体，考查利用导数研究函数的单调性，利用函数研究函数的极值，其中根据已知函数，求出函数的导函数是解答此类问题的关键．