Question

在数列{a_n}中，a₁=1，当n≥2时，其前n项S_n满足S_n²=a_n．
（I）求a_n；
（II）设b_n=，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（III）是否存在自然数m，使得对任意n∈N^*，都有T_n＞（m-8）成立？若存在，求出m的最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（I）∵S_n²=a_n（S_n-）（n≥2）
∴S_n²=（S_n-S_n-1）（S_n-）
∴2S_nS_n-1=S_n-1-S_n
∴2=…（2分）
又a₁=1，=1
∴数列为首项为1，公差为2的等差数列．…（3分）
∴=1+（n-1）•2=2n-1
∴S_n=．
∴a_n=…（5分）
（II）b_n=）
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=）]
=…（8分）
（III）令T（x）=，则T（x）在[1，+∞）上是增函数
∴当n=1时T_n=取得最小值．…（10分）
由题意可知，要使得对任意n∈N^*，都有T_n＞（m-8）成立，
只要T₁＞（m-8）即可．
∴（m-8）
∴m＜
又m∈n
∴m=9．…（12分）
分析：（I）将a_n=S_n-S_n-1代入已知等式，展开变形、化简可得2=，证出数列为等差数列，从而，得出S_n的表达式，进而可以求出a_n；
（II）将（I）中的S_n的表达式代入到b_n当中，用裂项相消法可以求出T_n表达式；
（III）用T_n的表达式得出其单调性，将不等式T_n＞（m-8）转化为T₁＞（m-8），最后可以求出符合题m的最大值．
点评：本题考查了数列求和的方法和等差数列的相关知识，属于中档题．采用裂项相消法、利用数列的单调性和不等式恒成立的处理，是解决问题的关键．