Question

【题目】设数列{an}满足：a1=1，an+1=3an ， n∈N* ． 设Sn为数列{bn}的前n项和，已知b1≠0，2bn﹣b1=S1Sn ， n∈N*
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设cn=bnlog3an ， 求数列{cn}的前n项和Tn；
（Ⅲ）证明：对任意n∈N*且n≥2，有 + +…+ ＜ ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵an+1=3an，∴{an}是公比为3，首项a1=1的等比数列，

∴通项公式为an=3n﹣1．

∵2bn﹣b1=S1Sn，∴当n=1时，2b1﹣b1=S1S1，

∵S1=b1，b1≠0，∴b1=1．

∴当n＞1时，bn=Sn﹣Sn﹣1=2bn﹣2bn﹣1，∴bn=2bn﹣1，

∴{bn}是公比为2，首项a1=1的等比数列，

∴通项公式为bn=2n﹣1．

（Ⅱ）cn=bnlog3an=2n﹣1log33n﹣1=（n﹣1）2n﹣1，

Tn=020+121+222+…+（n﹣2）2n﹣2+（n﹣1）2n﹣1…①

2Tn=021+122+223+…+（n﹣2）2n﹣1+（n﹣1）2n…②

①﹣②得：﹣Tn=020+21+22+23+…+2n﹣1﹣（n﹣1）2n

=2n﹣2﹣（n﹣1）2n=﹣2﹣（n﹣2）2n

∴Tn=（n﹣2）2n+2．

（Ⅲ） = = = ≤ + + +…+

＜ + +…+ =

= （1﹣ ）＜

【解析】（Ⅰ）判断an}是等比数列，求出通项公式，判断{bn}是等比数列，求出通项公式为bn．（Ⅱ）化简cn的表达式，利用错位相减法求解Tn即可．（Ⅲ）化简 并利用放缩法，通过数列求和证明即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解数列的前n项和(数列{an}的前n项和sn与通项an的关系)．