练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    设函数f（x）=
    13
    x3-ax2-3a2    x+1，其中a＞0．
    （1）求f′（x）的表达式；
    （2）若a=1，求函数f（x）的单调区间、极值．
    分析：（1）由导数的求导法则可知，导函数的表达式；
    （2）由（1）知，f′（x）=x2-2x-3，列表，进而可以得到函数的单调区间与极值．
    解答：解：（1）∵f(x)=
    1
    3
    x3-ax2-3a2x+1
    ∴f′（x）=x2-2ax-3a2
    （2）∵a=1
    ∴f(x)=
    1
    3
    x3-x2-3x+1    ，f′（x）=x2-2x-3
    令f′（x）=0即x2-2x-3=0解得x=-1或x=3
    列表：
    x （-∞，-1） -1 （-1，3） 3 （3，+∞）
    f′（x） + 0 - 0 +
    f（x） 单调递增 极大值
    8
    3
    		 单调递减 极小值-8 单调递增
    ∴由表可知：函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-1）和（3，+∞）；
    单调递减区间为（-1，3）；
    函数f（x）的极大值为
    8
    3
    ；极小值为-8．
    点评：此题主要考查函数在某点的极值，利用导数研究函数的单调性，以及掌握不等式的解法．这是高考必考的考点；
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•江西模拟）设函数f（x）=
    (
    1
    3
    )    x    -8(x＜0)
    x2+x-1(x≥0)
    ，若f（a）＞1，则实数a的取值范围是（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    设函数f（x）定义在实数集上，它的图象关于直线x=1对称，且当x≥1时，f（x）=3x-1，则（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）的定义域为D，若对任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2），则称函数f（x）在D上为非减函数．设函数f（x）在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①f（0）=0；②f(
    x
    3
    )=
    1
    2
    f(x)    ；③f（1-x）=2-f（x）．则f(
    1
    3
    )+f(
    1
    8
    )    =（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•成都一模）设函数f（x）=ax3+bx2+cx，记f（x）的导函数是f′（x）．
    （I）当a=-1，b=c=-1时，求函数f（x）的单调区间；
    （II）当c=-a2（a＞0）时，若函数f（x）的两个极值点x1、x2满足|x1-x2|=2，求b的取值范围；
    （III）若a=-
    1
    3
    令h（x）=|f′（x）|，记h（x）在[-1，1]上的最大值为H，当b≥0，c∈R时，证明：H≥
    1
    2
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    设函数f（x）=
    1
    3
     x3+bx2+cx（c＜b＜1）在x=1处取到一个极小值，且存在实数m，使f′（m）=-1，
    ①证明：-3＜c≤-1；
    ②判断f′（m-4）的正负并加以证明；
    ③若f（x）在x∈[m-4，1]上的最大值等于
    -2c
    3
    ，求f（x）在x∈[m-4，1]上的最小值．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案