Question

19．如图，在空间四边形ABCD中，连接AC，BD，E，F分别是边AC．BD的中点，设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{CD}$=5$\overrightarrow{a}$+6$\overrightarrow{b}$-8$\overrightarrow{c}$，试用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$表示$\overrightarrow{EF}$．

Answer 1

分析 把$\overrightarrow{EF}$分解为用已知向量表示的形式，可作图帮助分析已知向量与未知向量之间的关系，要注意中点向量表示中的特殊含意

解答 解：如图：
∵$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}$
又$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DF}$，
两式相加，得
2$\overrightarrow{EF}=（\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EC}）+（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}）$+（$\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{DF}$）
∵E是AC的中点，
故$\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{0}$，
同理，$\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{0}$
∴2$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}$=（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{c}$）+（5$\overrightarrow{a}$+6$\overrightarrow{b}$-8$\overrightarrow{c}$）=6$\overrightarrow{a}$+6$\overrightarrow{b}$-10$\overrightarrow{c}$），
∴$\overrightarrow{EF}$=3$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$-5$\overrightarrow{c}$），
故答案为：3$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$-5$\overrightarrow{c}$．

点评 本题考查的知识点是平面向量加（减）法的几何意义，处理的关键是：用已知向量表示未知向量的关键是将未知向量“凑配”成用已知向量表示的形式．其核心是向量加减法的“三角形”法则