Question

已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),右顶点为(3,0).

(1)求双曲线C的方程;

(2)若直线l₁:y=kx+与双曲线C恒有两个不同的交点A和B,且＞2(其中O为原点),求k的取值范围.

Answer 1

解：(1)设双曲线方程为=1(a＞0,b＞0).

由已知,得a=,c=2,

再由a²+b²=2²,得b²=1.

故双曲线C的方程为-y²=1.

(2)将y=kx+2代入-y²=1,得

(1-3k²)x²-6kx-9=0.

由直线l与双曲线交于不同的两点,得

即k²≠且k²＜1.                                                              ①

设A(x_A,y_A),B(x_B,y_B),则

x_A+x_B=,x_Ax_B=-,

由＞2,得x_Ax_B+y_Ay_B＞2,

而x_Ax_B+y_Ay_B

=x_Ax_B+(kx_A+)(kx_B+)

=(k²+1)x_Ax_B+k(x_A+x_B)+

=(k²+1)·-·k+2

=.

于是＞2,即＞0,解此不等式得＜k₂＜3.                             ②

由①②得＜k²＜1,

故k的范围是(-1,-)∪(,1).