Question

椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），直线y=k（x-1）经过椭圆C的一个焦点与其相交于点M，N，且点A(1，

3

2

)在椭圆C上．
（I）求椭圆C的方程；
（II）若线段MN的垂直平分线与x轴相交于点P，问：在x轴上是否存在一个定点Q，使得

|PQ|

|MN|

为定值？若存在，求出点Q的坐标和

|PQ|

|MN|

的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（I）确定椭圆的焦点，利用点A(1，

3

2

)在椭圆C上，建立方程，求出几何量，即可得到椭圆的方程；
（II）直线y=k（x-1）与椭圆方程联立，利用韦达定理，确定MN垂直平分线方程，|MN|，可得P的坐标，从而可得结论．

解答：解：（I）由题意，椭圆的一个焦点为（1，0），
又∵点A(1，

3

2

)在椭圆C上，
∴

a2-b2=1 1 a2 + 9 4 b2 =1

∴a²=4，b²=3
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（II）存在，
直线y=k（x-1）与椭圆方程联立可得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x1+x2=

8k2

3+4k2

，x1x2=

4k2-12

3+4k2

，
∴y1+y2=

-6k

3+4k2

∴MN垂直平分线方程为y-

-3k

3+4k2

=-

1

k

(x-

4k2

3+4k2

)
令y=0，可得x=

7k2

3+4k2

∴P（

7k2

3+4k2

，0），
设Q（a，0），则|PQ|=|

7k2

3+4k2

-a|
∵|MN|=

1+k2

•|x1-x2|=

12(1+k2)

3+4k2

，
∴

|PQ|

|MN|

=

| 7k2 3+4k2 -a|

12(1+k2) 3+4k2

=

|7k2-a(3+4k2)|

12(1+k2)

∴a=7时，

|PQ|

|MN|

=

7

4

∴Q（7，0）．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．