Question

（2012•河北模拟）定义在[1，+∞）上的函数f（x）满足：①f（2x）=cf（x）（c为正常数）；②当2≤x≤4时，f（x）=1-（x-3）²，若函数f（x）的图象上所有极大值对应的点均落在同一条直线上，则c等于（　　）

A．1

B．2

C．1或2

D．4或2

Answer 1

分析：由已知可得分段函数f（x）的解析式，进而求出三个函数的极值点坐标，根据三点共线，则任取两点确定的直线斜率相等，可以构造关于c的方程，解方程可得答案．

解答：解：∵当2≤x≤4时，f（x）=1-（x-3）²
当1≤x＜2时，2≤2x＜4，
则f（x）=

1

c

f（2x）=

1

c

[1-（2x-3）²]
此时当x=

3

2

时，函数取极大值

1

c

当2≤x≤4时，f（x）=1-（x-3）²
此时当x=3时，函数取极大值1
当4＜x≤8时，2＜

1

2

x≤4
则f（x）=cf（

1

2

x）=c（1-（

1

2

x-3）²，
此时当x=6时，函数取极大值c
∵函数的所有极大值点均落在同一条直线上，
即点（

3

2

，

1

c

），（3，1），（6，c）共线，
∴

1- 1 c

3- 3 2

=

c-1

6-3

解得c=1或2．
故选C

点评：本题考查的知识点是三点共线，函数的极值，其中根据已知分析出分段函数f（x）的解析式，进而求出三个函数的极值点坐标，是解答本题的关键．