Question

已知关于x的方程tan²x-tanx-a+1=0在[-

π

4

，

π

4

]内恰有两个不相等的实数根，则a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：先由x∈[-

π

4

，

π

4

]，得tanx∈[-1，1]；令t=tanx，把问题转化为函数g（t）=t²-t-a+1在[-1，1]上恰有两个不相等的实数根，再结合一元二次方程的根的分布与系数的关系得到

g(-1)≥0 g( 1 2 )＜0 g(1)≥0

解之即可求a的取值范围．

解答：解：因为x∈[-

π

4

，

π

4

]，
∴tanx∈[-1，1]．
令t=tanx，则问题转化为函数g（t）=t²-t-a+1在[-1，1]上恰有两个不相等的实数根．
因为其对称轴为t=

1

2

．故须满足

g(-1)≥0 g( 1 2 )＜0 g(1)≥0

?

3

4

＜a≤1．
故答案为：

3

4

＜a≤1．

点评：本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，考查分类讨论思想，转化思想，是中档题．解决本题的关键在于把问题转化为函数g（t）=t²-t-a+1在[-1，1]上恰有两个不相等的实数根．