Question

直线y=kx+b与曲线x²+4y²-4=0交于A、B两点，记△AOB的面积为S（O是坐标原点）．
（1）求曲线的离心率；
（2）求在k=0，0＜b＜1的条件下，S的最大值．

Answer 1

分析：（1）将方程化为标准方程，求得几何量，即可求得离心率；
（2）求出A，B的坐标，可得△AOB的面积，利用基本不等式，即可求得结论．

解答：解：（1）曲线的方程可化为：

x2

4

+y2=1，-------------------（1分）
∴此曲线为椭圆，a=2，c=

3

-------------------（4分）
∴此椭圆的离心率e=

c

a

3

2

------------------（6分）
（2）设点A的坐标为（x₁，b），点B的坐标为（x₂，b），
由

x2

4

+y2=1及y=b，解得x_1，2=±2

1-b2

，-----------------------------（8分）
所以S=

1

2

b|x₁-x₂|=2b

1-b2

≤b²+1-b²=1-----------------------------（11分）
当且仅当b=

2

2

时，S取到最大值1．-----------------------------（13分）

点评：本题考查椭圆的几何性质，考查三角形面积的计算，考查基本不等式的运用，属于基础题．