Question

设、A₂与B分别是椭圆E：的左右顶点与上定点，直线A₂B与
圆C：x²+y²=1相切．
（1）求证：；
（2）P是椭圆E上异于、A₂ 的一点，直线P、PA₂的斜率之积为﹣，求椭圆E的方程；
（3）直线l与椭圆E交于M、N两点，且，试判断直线l与圆C的位置关系，并说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵、A₂与B分别是椭圆E：的左右顶点与上定点，
∴（﹣a，0），A₂（a，0），B（0，b），
∴直线A₂B的方程是，
∵直线A₂B与圆C：x²+y²=1相切，
∴=1，
故．
（2）解：设P（，），则直线P，PA₂的斜率之积为：
===﹣，，
∵，
∴，
结合，得，
∴椭圆E的方程为．
（3）解：设点M（，），N（x₂，y₂），
①若直线l的斜率存在，设直线l为y=kx+m，
由y=kx+m代入，得，化简，
得（b²+a²k²）x²+2a²kmx+a²m²﹣a²b²=0（△＞0），
∴，y₂=（k+m）（kx²+m）=k²x₂+km（+x₂）+m²=+km（﹣）+m²=，
∵，
∴x₂+y₂=0．代入，得（a²+b²）m²﹣a²b²（1+k²）=0，
∵，
∴m²=1+k²，圆心到直线l的距离为d=，
所以，直线l与圆C相切．
②若直线l的斜率不存在，设直线l：x=n，代入，得y=，
∴|n|=b，
∴a²n²=b²（a²﹣n²），
解得n=±1，
所以直线l与圆C相切．