Question

14．已知函数f（x）=ln（sinx+$\sqrt{si{n}^{2}x+α}$），-$\frac{π}{2}$≤x≤$\frac{π}{2}$，a为实常数，且f（x）为奇函数．
（1）求a的值；试说明函数f（x）的单调性，并求f（x）的值域；
（2）设g（x）为f（arcsinx）的反函数，并指出g（x）的定义域与值域．

Answer 1

分析 （1）根据f（0）=lna=0，解得a=1，再运用单调性求函数值域；
（2）运用sin（arcsinx）=x，求反函数的表达式，再根据原函数与反函数的关系确定g（x）的定义域和值域．

解答 解：（1）因为f（x）为（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）上的奇函数，所以f（0）=0，
即f（0）=ln$\sqrt{a}$=0，解得a=1，函数奇偶性验证如下：
f（x）+f（-x）=ln（sinx+$\sqrt{sin^2x+1}$）+ln（-sinx+$\sqrt{sin^2x+1}$）
=ln（sin²x+1-sin²x）=ln1=0，
所以，当a=1时，f（x）=ln（sinx+$\sqrt{sin^2x+1}$）是奇函数，
当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，sinx，$\sqrt{sin^2x+1}$都为增函数，
所以，f（x）为[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上的增函数，
因此，f（x）_min=f（-$\frac{π}{2}$）=ln（$\sqrt{2}$-1），f（x）_max=f（$\frac{π}{2}$）=ln（$\sqrt{2}$+1），
故函数f（x）的值域为[ln（$\sqrt{2}$-1），ln（$\sqrt{2}$+1）]；
（2）因为sin（arcsinx）=x，x∈[-1，1]，
所以，y=f（arcsinx）=ln（x+$\sqrt{x^2+1}$），
该函数的定义域为x∈[-1，1]，值域为[ln（$\sqrt{2}$-1），ln（$\sqrt{2}$+1）]，
而函数y=ln（x+$\sqrt{x^2+1}$）的反函数就是g（x），反函数求解过程如下：
而e^y=x+$\sqrt{x^2+1}$，即e^y-x=$\sqrt{x^2+1}$，
两边平方再分离x得，x=$\frac{1}{2}$（e^y-e^-y），
所以，其反函数g（x）=$\frac{1}{2}$（e^x-e^-x），
该函数的定义域为[ln（$\sqrt{2}$-1），ln（$\sqrt{2}$+1）]，值域为[-1，1]．

点评 本题主要考查了函数奇偶性的判断，以及函数的单调性和值域，反函数的求法，属于中档题．