Question

如图，在四棱锥E-ABCD中，AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，AB=BC=CE=2CD=2，∠BCE=120°.

(Ⅰ)求证：平面ADE⊥平面ABE；

(Ⅱ)求点C到平面ADE的距离.

Answer 1

答案：解法1：取BE的中点O,连OC.

∵BC=CE,∴OC⊥BE.又AB⊥平面BCE.

以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz如图,

则由已知条件有

C(1,0,0),B(0,,0),E(0,,0)D(1,0,1),A(0,,2)设平面ADE的法向量为n=(a,b,c),

则由n·=(a,b,c)·(0,,2)=b+2c=0.

及n·=(a,b,c)·(-1,,1)=-a+b+c=0.

可取n=(0,1)

又AB⊥平面BCE.∴AB⊥OC.OC⊥平面ABE

∴平面ABE的法向量可取为m=(1,0,0).

∵n·m=(0,1)·(1,0,0)=0,

∴n⊥m  ∴平面ADE⊥平面ABE.

(Ⅱ)点C到平面ADE的距离为

解法2：取BE的中为O,AE的中心F,连OC、OF、DF,

则BA∵AB⊥平面BCE,CD⊥平面BCE,AB=2CD

∴CDBA,OFCD∴OC//FD

∵BC=CE,∴OC⊥BE.又AB⊥平面BCE.∴OC⊥平面ABE.∴FD⊥平面ABE.

从而平面ADE⊥平面ABE.

(Ⅱ)∵CDBA,延长AD,BC交于T则C为BT的中点.

点C到平面ADE的距离等于点B到平同ADE的距离.过B作BH⊥AE,垂足为H.

由已知有AB⊥BE.BE=2,AB=2,∴BH=,从而点C到平面ADE的距离为.

或OC//FD,点C到平面ADE的距离等于点O到平面ADE的距离为.或取AB的中点M.易证CM//DA,点C到平面ADE的距离等于点M到平面ADE的距离为.