Question

20．设函数f（x）=$\frac{1}{1+x}$+ln（1+x）
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）证明：当x∈（0，1）时，f（x）＜（ln2-1）x³+$\frac{1}{2}$x²+1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函数f（x）的定义域，再求导并化简，从而由导数的正负确定函数的单调区间；
（Ⅱ）当x∈（0，1）时，构造函数h（x）=f（x）-[（ln2-1）x³+$\frac{1}{2}$x²+1]，求导以确定函数的单调性，从而可证明h（x）在（0，1）上是减函数，从而可证明h（x）＜0，从而证明即可．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（-1，+∞），
f′（x）=-$\frac{1}{（1+x）^{2}}$+$\frac{1}{1+x}$=$\frac{x}{（1+x）^{2}}$，
故当x∈（-1，0）时，f′（x）＜0，
当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，
故f（x）的单调减区间为（-1，0），单调增区间为（0，+∞）；
（Ⅱ）证明：当x∈（0，1）时，
令h（x）=f（x）-[（ln2-1）x³+$\frac{1}{2}$x²+1]，
则h′（x）=$\frac{x}{（1+x）^{2}}$-3（ln2-1）x²-x
=x（$\frac{1}{（1+x）^{2}}$-3（ln2-1）x-1），
∵0＜x＜1，
∴x＞0，$\frac{1}{（1+x）^{2}}$-3（ln2-1）x-1＜$\frac{1}{（1+x）^{2}}$-1＜0，
∴h′（x）＜0，
故h（x）在（0，1）上是减函数，
故h（x）＜h（1）=$\frac{1}{2}$+ln2-（ln2-1+$\frac{1}{2}$+1）=0，
故f（x）-[（ln2-1）x³+$\frac{1}{2}$x²+1]＜0，
即f（x）＜（ln2-1）x³+$\frac{1}{2}$x²+1．

点评 本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，属于中档题．