Question

【题目】已知圆C：x2+y2+2x﹣3=0．
（1）求圆的圆心C的坐标和半径长；
（2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2）两点，求证： 为定值；
（3）斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使△CDE的面积最大．

Answer 1

【答案】
（1）解：圆C：x2+y2+2x﹣3=0，配方得（x+1）2+y2=4，

则圆心C的坐标为（﹣1，0），圆的半径长为2

（2）解：设直线l的方程为y=kx，

联立方程组 ，

消去y得（1+k2）x2+2x﹣3=0，

则有： ；

所以 为定值

（3）解：解法一：设直线m的方程为y=kx+b，则圆心C到直线m的距离 ，

所以 ，

≤ ，

当且仅当 ，即 时，△CDE的面积最大，

从而 ，解之得b=3或b=﹣1，

故所求直线方程为x﹣y+3=0或x﹣y﹣1=0．

解法二：由（1）知|CD|=|CE|=R=2，

所以 ≤2，

当且仅当CD⊥CE时，△CDE的面积最大，此时 ；

设直线m的方程为y=x+b，则圆心C到直线m的距离 ，

由 ，得 ，

由 ，得b=3或b=﹣1，

故所求直线方程为x﹣y+3=0或x﹣y﹣1=0

【解析】（1）把圆C的方程化为标准方程，写出圆心和半径；（2）设出直线l的方程，与圆C的方程组成方程组，消去y得关于x的一元二次方程，由根与系数的关系求出 的值；（3）解法一：设出直线m的方程，由圆心C到直线m的距离，写出△CDE的面积，利用基本不等式求出最大值，从而求出对应直线方程；解法二：利用几何法得出CD⊥CE时△CDE的面积最大，再利用点到直线的距离求出对应直线m的方程．