Question

已知．
（1）当a≥时，求f（x）的最小值；
（2）当a＜时，讨论f（x）的单调区间．

Answer 1

解：（1）f'（x）=x（x²+x+a），
当a≥时，x²+x+a≥0恒成立，
所以x＜0时f'（x）≤0，
仅当a=，x=时等于0，
x＞0时，f'（x）＞0，
因此f（x）在x=0处取得极小值，
∵只有这个唯一的极小值，
∴这个极小值也是最小值．
故最小值为f（0）=1．
（2）当a＜时，x²+x+a=0有两个不等实根：
x₁=，x₂=，
若0＜a＜，则x₁＜x₂＜0，f'（x）的图象如图，
f（x）的增区间为（x₁，x₂）和（0，+∞），
减区间为（-∞，x₁）和（x₂，0）；
若a=0，则x₁=-1，x₂=0，f'（x）的图象如
图，f（x）的增区间为（-1，+∞），减区间为（-∞，-1）；
若a＜0，则x₁＜0，x₂＞0，f'（x）的图象如图，
f（x）的增区间为（x₁，0）和（x₂，+∞），
减区间为（-∞，x₁）和（0，x₂）．
分析：（1）由f'（x）=x（x²+x+a），知当a≥时，x²+x+a≥0恒成立，所以x＜0时，f'（x）≤0，x＞0时，f'（x）＞0，由此能求出f（x）的最小值．
（2）当a＜时，x²+x+a=0有两个不等实根：x₁=，x₂=，若0＜a＜，则x₁＜x₂＜0，由此能导出f（x）的单调区间．
点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．