Question

17．设函数f（x）=ax+$\frac{1}{x+b}$（a，b为常数），且方程f（x）=$\frac{3}{2}$x有两个实根为x₁=-1，x₂=2．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）求y=f（x）在（2，f（2））处的切线方程．

Answer 1

分析 （1）把方程的2个实数根分别代入方程得到方程组，解此方程组求出待定系数，进而得到函数的解析式；
（2）求出导数，求得切线的斜率和切点，即可得到所求切线的方程．

解答 解：（1）由题意可得f（-1）=-$\frac{3}{2}$，f（2）=3，
即有$\left\{\begin{array}{l}{-a+\frac{1}{-1+b}=-\frac{3}{2}}\\{2a+\frac{1}{2+b}=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
故f（x）=x+$\frac{1}{x-1}$；
（2）f（x）的导数为1-$\frac{1}{（x-1）^{2}}$，
y=f（x）在（2，f（2））处的切线的斜率为1-1=0，
切点为（2，3），
则y=f（x）在（2，f（2））处的切线方程为y=3．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查函数的解析式的求法，考查运算能力，属于基础题．