Question

21.如图，已知四棱P－ABCD,PB⊥AD,侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120

    （Ⅰ）求点P到平面ABCD的距离；

　　（Ⅱ）求面APB与面CPB所成二面角的大小.

Answer 1

21.本小题主要考查组合、概率等基本概念，独立事件和互斥事件的概率以及运用概率知识解决实际问题的能力.

　　　（Ⅰ）解：如图，作PO⊥平面ABCD，垂足为点O.

连结OB、OA、OD，OB与AD交于点E，连结PE.

∵AD⊥PD，∴AD⊥OB，

∵PA＝PD，∴OA＝OD，

于是OB平分AD，点E为AD的中点，所以PE⊥AD.

由此知∠PEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角，

∴∠PEB＝120，∠PEO＝60.

由已知可求得PE＝，

∴PO＝PE·sin60=×=,

即点P到平面ABCD的距离为.

（Ⅱ）解法一：

如图建立直角坐标系，其中O为坐标原点，x轴平行于DA.

P(0,0,)，B（0,,0），PB中点G的坐标为（0,,），连结AG.

又知A（1，，0），C（－2，，0）.

由此得到：=(1,－,－),

=(0,,－),=(－2,0,0).

于是有·＝0,·＝0，

所以⊥,⊥.,的夹角等于所求二面角的平面角,

于是 cos==－,

所以所求二面角的大小为π－arccos.

解法二：如图，取PB的中点G，PC的中点F，连结EG、AG、GF，则AG⊥PB，

FG∥BC，FG＝BC.

∵AD⊥PB，∴BC⊥PB，FG⊥PB，

∴∠AGF是所求二面角的平面角.

∵AD⊥面POB，∴AD⊥EG.

又∵PE＝BE，∴EG⊥PB，且∠PEG＝60.

在Rt△PEG中，EG＝PE·cos60＝，

在Rt△GAE中，AE=AD=1,

于是tanGAE==,

又∠AGF=π－∠GAE，

所以所求二面角的大小为π－arctan.