Question

如图为一正方体，A、B、C分别为所在边的中点，过A、B、C三点的平面与此正方体表面相截，则其截痕的形状是________．

Answer 1

矩形
分析：正方体EFGH-IJKL中，作出经过A、B、C三点的平面，交FJ于点D，顺次连接AB、BD、DC、CA．根据线面平行、面面平行的性质与判定，证出AB∥DC且AC∥BD，可得四边形ABDC是平行四边形，再根据线面垂直的判定与性质，得到AB⊥BD，得四边形ABDC是矩形．
解答：解：正方体EFGH-IJKL中，作出经过A、B、C三点的平面，交FJ于点D，
顺次连接AB、BD、DC、CA，可得四边形ABDC是矩形，证明如下
∵正方形IJKL中，A、B分别是KL、JI的中点
∴AB∥KJ
∵AB?平面FGKJ，KJ?平面FGKJ，∴AB∥平面FGKJ，
∵AB?平面ABDC，平面ABDC∩平面FGKJ=DC，∴AB∥DC
又∵平面EFJI∥平面GKLH，平面ABDC∩平面EFJI=BD，平面ABDC∩平面GKLH=AC
∴AC∥BD，可得四边形ABDC是平行四边形
∵AB∥KJ，KJ⊥平面EFJI，∴AB⊥平面EFJI，
∵BD?平面EFJI，
∴AB⊥BD，得四边形ABDC是矩形．即所求截痕的形状是矩形．
故答案为：矩形
点评：本题给出经过正方体三条棱的中点的平面，求它与正方体截得截面的形状，着重考查了正方体的性质、线面平行与面面平行的性质与判定、据线面垂直的判定与性质等知识，属于基础题．