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设A,B分别为椭圆数学公式的左、右顶点,C,D分别为椭圆上、下顶点,椭圆长半轴的长等于焦距,且四边形ACBD 的面积为数学公式
(1)求椭圆的方程;
(2)设Q为椭圆上异于A、B的点,求证:直线QA与直线QB的斜率之积为定值;
(3)设P为直线数学公式上不同于点(数学公式,0)的任意一点,若直线AP,BP分别与椭圆相交于异于A,B的点M、N,证明:点B在以MN为直径的圆内.

解:(1)依题意得,a=2c,,∴,∴椭圆的方程为
(2)设Q(x,y),∵A(-2,0),B(2,0),∴
,故得证.
(3)由(1)得 A(-2,0),B(2,0),,设M(x0,y0
∵M在椭圆上,∴又点M异于顶点A,B,∴-2<x0<2,由P,A,M三点共线可以得,∴
,从而有
∵-2<x0<2,∴∴∠MBP为锐角,从而∠MBN为钝角,故点B在以MN为直径的圆内.
分析:(1)依题意寻找a,b,c,从而可求椭圆的方程;(2)先求直线QA与直线QB的斜率,利用椭圆的方程可得证;(3)要证点B在以MN为直径的圆内,只需证∠MBN为钝角,从而∠MBP为锐角,故即证
点评:本题主要考查椭圆标准方程的求解,考查椭圆方程的运用,考查等价转化的数学思想.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•天津)设椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左焦点为F,离心率为
3
3
,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为
4
3
3

(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设A,B分别为椭圆的左,右顶点,过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C,D两点.若
AC
DB
+
AD
CB
=8,求k的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(14分)设A、B分别为椭圆的左、右顶点,()为椭圆上一点,椭圆的长半轴的长等于焦距.

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)设,若直线AP,BP分别与椭圆相交于异于A、B的点M、N,证明在以MN为直径的圆内.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(14分)设A、B分别为椭圆的左、右顶点,()为椭圆上一点,椭圆的长半轴的长等于焦距.

  (Ⅰ)求椭圆的方程;

  (Ⅱ)设,若直线AP,BP分别与椭圆相交于异于A、B的点M、N,

求证:为钝角.

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科目:高中数学 来源:2010年北京市重点中学高考数学预测试卷(文科)(解析版) 题型:解答题

设A,B分别为椭圆的左、右顶点,椭圆长半轴的长等于焦距,且x=4为它的右准线.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设P为右准线上不同于点(4,0)的任意一点,若直线AP,BP分别与椭圆相交于异于A,B的点M、N,证明点B在以MN为直径的圆内.
(此题不要求在答题卡上画图)

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科目:高中数学 来源:2010-2011学年北京市东城区高三上学期期末理科数学卷 题型:解答题

设A、B分别为椭圆的左、右顶点,椭圆的长轴长为4,且点在该椭圆上。

(I)求椭圆的方程;

(II)设P为直线x=4上不同于点(4,0)的任意一点,若直线AP与椭圆相交于A的点

M,证明:为锐角三角形

 

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