Question

已知

a

=(sinx，1)，

b

=(cosx，-

1

2

)．
（I）当

a

∥

b

时，求2cos²x-sin2x的值；
（II）求函数．f（x）=（

a

+

b

）•

b

在[-

π

2

，0]上的值域．

Answer 1

分析：（1）由

a

∥

b

可求得tanx=-2，从而可求得2cos²x-sin2x的值；
（2）利用向量的坐标运算可求得f（x）=

2

2

sin（2x+

π

4

）+

1

4

，再由-

π

2

≤x≤0，求得-

3π

4

≤2x+

π

4

≤

π

4

，从而可求得f（x）的值域．

解答：解：（Ⅰ）∵

a

∥

b

，
∴

1

2

sinx+cosx=0，即tanx=-2；
∴2cos²x-sin2x=

2cos2x-sin2x

sin2x+cos2x

=

2-tanx

1+tan2x

=

6

5

．
（Ⅱ）∵

a

+

b

=（sinx+cosx，

1

2

），
∴f（x）=（

a

+

b

）•

b

=

1

2

sin2x+

1

2

cos2x+

1

4

=

2

2

sin（2x+

π

4

）+

1

4

．
∵-

π

2

≤x≤0，
∴-

3π

4

≤2x+

π

4

≤

π

4

，
∴-1≤sin（2x+

π

4

）≤

2

2

，
∴

1-2 2

4

≤f（x）≤

3

4

．
∴f（x）=（

a

+

b

）•

b

在[-

π

2

，0]上的值域为[

1-2 2

4

，

3

4

]．

点评：本题考查正弦函数的定义域和值域，着重考查三角函数值的计算与某段区间上正弦函数的值域，属于中档题．