Question

己知向量=（1，2），=（-2，m），=+（t²+1），=-k+，m∈R，kt为正实数．
（1）若∥，求m的值；
（2）当m=1时，若⊥，求k的最小值．

Answer 1

解：（1）根据题意，=（1，2），=（-2，m），
若∥，则有1×m=2×（-2），
解可得，m=-4；
（2）若m=1，有=（1，2），=（-2，1），易得•=0，
则=+（t²+1）=（-1-2t²，3+t²），y=-k+=（-k-，-2k+），
若⊥，则•=[+（t²+1）]•（-k+）=-k²+（t+）²=5[（t+）-k]=0，
即k=t+，
又由t＞0，则k≥2=2，（当且仅当t=1时等号成立）；
故k的最小值为2．
分析：（1）根据题意，结合、的坐标，由向量平行的坐标判断方法，可得1×m=2×（-2），解可得答案；
（2）根据题意，可得、的坐标，分析可得•=0，由向量垂直与数量积的关系，可得•=[+（t²+1）]•（-k+=0，对其变形整理可得k=t+，由基本不等式的关系，计算可得答案．
点评：本题考查向量平行、垂直的坐标判断以及基本不等式的应用，对于（2），要注意、的坐标，分析得到⊥，结合数量积的运算，化简•．