Question

设S_n表示一个公比q≠-1（q∈R）的等比数列的前n项和，CardA表示集合A中的元素个数，设M={x|x=

lim

n→∞

Sn

S2n

}，则CardM=

3

．

Answer 1

分析：由于涉及等比数列{a_n}的前n项和，故求和时，需要进行分类讨论，同时注意极限的求解方法

解答：解：当q=1时，S_n=n，S_2n=2n，∴

lim

n→∞

Sn

S2n

=

1

2

，
当q≠1时，S_n=

a1(1-qn)

1-q

，S_2n=

a1(1-q2n)

1-q

，
∴

lim

n→∞

Sn

S2n

=

lim

n→∞

1-qn

1-q2n

，
当q＞1时，

lim

n→∞

1-qn

1-q2n

=

lim

n→∞

1 q2n - 1 qn

1 q2n -1

=0
当0＜q＜1时，∴

lim

n→∞

1-qn

1-q2n

=

1-0

1-0

=1
M={0，

1

2

，1}．
∴CardM=3．
故答案为：3．

点评：本题的考点是数列的极限，主要考查等比数列的极限问题，运用等比数列的前n项和公式，需要进行分类讨论．