Question

18．若函数f（x）定义域为R，满足对任意x₁，x₂∈R，f（x₁+x₂）≤f（x₁）+f（x₂）有，则称f（x）为“V形函数”；若函数g（x）定义域为R，g（x）恒大于0，且对任意x₁，x₂∈R，有lg[g（x₁+x₂）]≤lg[g（x₁）]+lg[g（x₂）]，则称g（x）为“对数V形函数”：
（1）当f（x）=x²时，判断函数f（x）是否为V形函数，并说明理由；
（2）当g（x）=x²+2时，证明：g（x）是对数V形函数；
（3）若f（x）是V形函数，且满足对任意x∈R，有f（x）≥2，问f（x）是否为对数V形函数？如果是，请加以证明；如果不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由f（x₁+x₂）-[f（x₁）+f（x₂）]=（x₁+x₂）²-（x12+x22）=2x₁x₂，可得2x₁x₂符号不定，从而可得结论；
（2）利用反证法证明．假设对任意x₁，x₂∈R，有lgg（x₁+x₂）≤lgg（x₁）+lgg（x₂），则可得（x₁+x₂）²+2≤（x₁²+2）（x₂²+2），即证x₁²x₂²+（x₁-x₂）²+2≥0，显然成立；
（3）f（x）是对数V形函数，根据f（x）是V形函数，利用对任意x∈R，有f（x）≥2，证明f（x₁+x₂）≤f（x₁）f（x₂），从而可得f（x）是对数V形函数．

解答 （1）解：f（x₁+x₂）-[f（x₁）+f（x₂）]=（x₁+x₂）²-（x12+x22）=2x₁x₂
∵x₁，x₂∈R，∴2x₁x₂符号不定，∴当2x₁x₂≤0时，f（x）是V形函数；当2x₁x₂＞0时，f（x）不是V形函数；
（2）证明：假设对任意x₁，x₂∈R，有lgg（x₁+x₂）≤lgg（x₁）+lgg（x₂），
则lgg（x₁+x₂）-lgg（x₁）-lgg（x₂）=lg[（x₁+x₂）²+2]-lg（x₁²+2）-lg（x₂²+2）≤0，
∴（x₁+x₂）²+2≤（x₁²+2）（x₂²+2），
∴x₁²x₂²+（x₁-x₂）²+2≥0，显然成立，
∴假设正确，g（x）是对数V形函数；
（3）解：f（x）是对数V形函数
证明：∵f（x）是V形函数，∴对任意x₁，x₂∈R，有f（x₁+x₂）≤f（x₁）+f（x₂），
∵对任意x∈R，有f（x）≥2，∴0＜f（x₁）+f（x₂）≤f（x₁）f（x₂），
∴f（x₁+x₂）≤f（x₁）f（x₂），
∴lgf（x₁+x₂）≤lgf（x₁）+lgf（x₂），
∴f（x）是对数V形函数．

点评 本题考查了函数的性质、不等式的性质与解法、反证法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．