Question

13．已知数列{a_n}满足a_n+1=a_n+2，且a₂=3，b_n=ln（a_n）+ln（a_n+1）．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）令${c_n}={e^{-{b_n}}}$，求数列{c_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

分析 （1）根据数列的递推公式和对数的运算性质即可求出数列{b_n}的通项公式；
（2）根据裂项求和即可求出数列{c_n}的前n项和为T_n．

解答 解：（1）∵a_n+1-a_n=2，∴数列{a_n}是等差数列，且公差为2，
∵a₂=3，∴a₁=1，∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，
∴b_n=ln（a_n）+ln（a_n+1）=ln（a_na_n+1）=ln[（2n-1）（2n+1）]．
（2）${c_n}={e^{-{b_n}}}=\frac{1}{{{e^{b_n}}}}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴${T_n}=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}）+\frac{1}{2}（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）=\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查了数列的递推公式和裂项求和，属于中档题．