Question

（1）已知Z是复数，求证：①；②；
（2）已知z₁，z₂是复数，若|z₁-|=|1-z₁z₂|，求证：|z₁|，|z₂|中至少有一个值为1．

Answer 1

【答案】分析：（1）设 z=a+bi，a、b∈R，分别代入两个等式的左右两边化简，即可证得等式成立．
（2）把已知条件两边平方，利用共轭复数的性质化简可得z₁+z₂=1+z₁z₂ ，可得（|z₁|²-1）（|z₂|²-1）
=0，从而有|z₁|，|z₂|中至少有一个为1．
解答：解：（1）设 z=a+bi，a、b∈R，
∵|Z|²=a²+b²，=9a+bi）（a-bi）=a²+b²，∴① 成立．
∵==-2bi，=（a-bi）-（a+bi）=-2bi，∴②成立．
（2）∵|z₁-|=|1-z₁z₂|，∴|z₁-|² =|1-z₁z₂|² ．
∴（z₁-） （ ）=（1-z₁z₂）（1- ）．
∴（z₁-）（-z₂）=（ 1-z₁z₂）（1-）．
化简后得z₁+z₂=1+z₁z₂ ．
∴|z₁|²+|z₂|²=1+|z₁|²•|z₂|²．∴（|z₁|²-1）（|z₂|²-1）=0．
∴|z₁|²=1，或|z₂|²=1．∴|z₁|，|z₂|中至少有一个为1．
点评：本题主要考查共轭复数的定义和性质，两个复数代数形式的乘除法，求复数的模的方法，属于基础题．