设a为实数,记函数f(x)=的最大值为g(a).
(1)设t=,求t的取值范围,并把f(x)表示为t的函数m(t);
(2)求g(a);
(3)试求满足g(a)=g()的所有实数a.
解:(1)∵t=, ∴要使有t有意义,必须1+x≥0且1-x≥0,即-1≤x≤1. ∴t2=2+∈[2,4],t≥0 ① ∴t的取值范围是[,2]. 由①得, ∴m(t)=a(t2-1)+t=at2+t-a,t∈[,2]. (2)由题意知g(a)即为函数m(t)=at2+t-a,t∈[,2]的最大值. 注意到直线t=是抛物线m(t)=at2+t-a的对称轴,分以下几种情况讨论. ①当a>0时,函数y=m(t),t∈[,2]的图像是开口向上的抛物线的一段, 由t=<0知m(t)在[,2]上单调递增,∴g(a)=m(2)=a+2. ②当a=0时,m(t)=t,t∈[,2],∴g(a)=2. ③当a<0时,函数y=m(t),t∈[,2]的图像是开口向下的抛物线的一段, 若t=∈(0,],即a≤,则g(a)=m()=. 若t=∈(,2],即<a≤,则g(a)=m()=. 若t=∈(2,+∞),即<a<0,则g(a)=m(2)=a+2. 综上有g(a)= (3)情形1:当a<-2时>,此时g(a)=,g()=+2, 由2+=解得a=-1,与a<-2矛盾. 情形2:当-2≤a<时,<≤时,此时g(a)=,g()=, 由=解得,a=与a<矛盾. 情形3:当≤a≤,≤≤时,此时g(a)==g(), 所以≤a≤. 情形4:当<a≤时,-2≤<-2,此时g(a)=, g()=,解得a=,与a>矛盾. 情形5:当<a<0时,<-2,此时g(a)=a+2,g()=2, 由a+2=解得a=,与a>矛盾. 情形6:当a>0时,>0,此时g(a)=a+2,g()=+2, 由a+2=+2,解得a=±1,由a>0得a=1. 综上知,满足g(a)=g()的所有实数a为≤a≤或a=1. |
科目:高中数学 来源: 题型:
2 |
π |
4 |
1 |
2 |
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科目:高中数学 来源: 题型:
1-x2 |
1+x |
1-x |
1+x |
1-x |
1 |
a |
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科目:高中数学 来源: 题型:
1-x2 |
1+x |
1-x |
1+x |
1-x |
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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题
1-x2 |
1+x |
1-x |
1+x |
1-x |
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科目:高中数学 来源: 题型:
(1)设t=,求t的取值范围,并把f(x)表示为t的函数m(t);
(2)求g(a);
(3)试求满足g(a)=g()的所有实数a.
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