Question

设数列{a_n}的通项公式为 an=kn-1．已知a₁+a₂+a₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4构成等差数列．
（1）求k的值；
（2）令b_n=log₂a_3n+1，（n=1，2，…，），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）由a₁+a₂+a₃=7，及a₁+3，3a₂，a₃+4构成等差数列，得：

a1+a2+a3=7 (a1+3)+(a3+4) 2 =3a2.

，由此可求得a₂，再由an=kn-1可求得k值；
（2）由（1）可求得a_n，进而得到a_3n+1，b_n，易判断{b_n}为等差数列，由等差数列的前n项和公式可求得T_n．

解答：解：（1）由a₁+3，3a₂，a₃+4构成等差数列，得

(a1+3)+(a3+4)

2

=3a2，
又a₁+a₂+a₃=7，∴有：

a1+a2+a3=7 (a1+3)+(a3+4) 2 =3a2.

，解得a₂=2，
由 an=kn-1，得a₂=k=2，∴k=2，
（2）由（1）得为an=2n-1，∴a3n+1=23n，
又b_n=log₂a_3n+1（n=1，2，…，），
∴bn=log2a3n+1=log223n=3n，
又b_n+1-b_n=3，
∴{b_n}是首项为3，公差为3的等差数列，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=

n(b1+bn)

2

=

n(3+3n)

2

=

3n(n+1)

2

．

点评：本题考查等差数列的通项公式、求和公式，考查学生的运算求解能力，属基础题．