Question

已知椭圆C：，直线l与椭圆C相交于A、B两点，（其中O为坐标原点）．
（1）试探究：点O到直线AB的距离是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由；
（2）求|OA|•|OB|的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）点O到直线AB的距离是定值．设A（x₁，x₂），B（x₂，y₂），当直线AB的斜率不存在时，则由椭圆的对称性可知，x₁=x₂，y₁=-y₂，此时点O到直线AB的距离d=|x₁|=；当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，与椭圆C：联立，得：（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，由根与系数的关系得到O到直线AB的距离d==．由此能求出点O到直线AB的距离为定值．
（Ⅱ）（法一：参数法）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设直线OA的斜率为k（k≠0），则OA的方程为y=kx，OB的方程为y=-，解方程组，得，同理可求得，由此能推导出|OA|•|OB|的最小值．
法二：（均值不等式法）由（Ⅰ）可知，O到直线AB的距离．在Rt△OAB中，d=，故有=，由此能求出|OA|•|OB|的最小值．
法三：（三角函数法）由（Ⅰ）知，在Rt△OAB中，点O到直线AB的距离|OH|=．设∠OAH=θ，则∠BOH=θ，故|OA|=，|OB|=．所以，|OA|×|OB|==，由此能求出|OA|•|OB|的最小值．
解答：解：（Ⅰ）点O到直线AB的距离是定值．
设A（x₁，x₂），B（x₂，y₂），
①当直线AB的斜率不存在时，则由椭圆的对称性可知，x₁=x₂，y₁=-y₂，
∵，即x₁x₂+y₁y₂=0，也就是，代入椭圆方程解得：．
此时点O到直线AB的距离d=|x₁|=．…（2分）
②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，
与椭圆C：联立，
消去y得：（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
∵，，…（3分）
因为OA⊥OB，所以x₁x₂+y₁y₂=0，
所以（1+k²），…（4分）
代入得：，
整理得5m²=4（k²+1），…（5分）
O到直线AB的距离d==．
综上所述，点O到直线AB的距离为定值．…（6分）
（Ⅱ）（法一：参数法）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设直线OA的斜率为k（k≠0），则OA的方程为y=kx，OB的方程为y=-，
解方程组，得，
同理可求得，
故
=．…（9分）
令1+k²=t（t＞1），则|OA|•|OB|=4=4，
令=-9（t＞1），所以4＜g（t）≤，即．…（11分）
当k=0时，可求得|OA|•|OB|=2，故，故|OA|•|OB|的最小值为，最大值为2．…（13分）
法二：（均值不等式法）由（Ⅰ）可知，O到直线AB的距离．
在Rt△OAB中，d=，故有=，
即，…（9分）
而|OA|²+|OB|²≥2|OA|×|OB，（当且仅当|OA|=|OB|时取等号）
代入上式可得：，
即，（当且仅当|OA|=|OB|时取等号）．…（11分）
故|OA|•|OB|的最小值为．…（13分）
法三：（三角函数法）由（Ⅰ）可知，如图，在Rt△OAB中，点O到直线AB的距离|OH|=．
设∠OAH=θ，则∠BOH=θ，故|OA|=，|OB|=．…（9分）
所以，|OA|×|OB|==，…（11分）
显然，当2θ=，即时，|OA|•|OB|取得最小值，最小值为．…（13分）
点评：本题探究点到直线的距离是否为定值，求线段乘积的最小值．考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．