Question

（2009辽宁卷文）（本小题满分12分）

如图，已知两个正方形ABCD 和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点。

（I）若CD＝2，平面ABCD ⊥平面DCEF，求直线MN的长；

（II）用反证法证明：直线ME 与 BN 是两条异面直线。          

Answer 1

解

  （Ⅰ）取CD的中点G连结MG，NG.

   因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，

  所以MG⊥CD，MG＝2，.

  因为平面ABCD⊥平面DCEF，

 所以MG⊥平面DCEF，可得MG⊥NG.

 所以                                   ……6分

（Ⅱ）假设直线ME与BN共面，                                    …..8分

则平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN，

由已知，两正方形不共面，故平面DCEF.

又AB∥CD，所以AB∥平面DCEF.而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，

所以AB∥EN.

又AB∥CD∥EF,

所以EN∥EF，这与矛盾，故假设不成立。          

所以ME与BN不共面，它们是异面直线。                            ……..12分