已知x=1是函数f(x)=mx3-3(m+1)x2+nx+1的一个极值点,其中m,n∈R,m<0.
(Ⅰ)求m与n的关系表达式;
(Ⅱ)求f(x)的单调区间;
(Ⅲ)当x∈[-1,1]时,函数y=f(x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m,求m的取值范围.
分析:(Ⅰ)求出f′(x),因为x=1是函数的极值点,所以得到f'(1)=0求出m与n的关系式;
(Ⅱ)令f′(x)=0求出函数的极值点,讨论函数的增减性确定函数的单调区间;
(Ⅲ)函数图象上任意一点的切线斜率恒大于3m即f′(x)>3m代入得到不等式即3m(x-1)[x-(1+
)]>3m,又因为m<0,分x=1和x≠1,当x≠1时g(t)=t-
,求出g(t)的最小值.要使
<(x-1)-
恒成立即要g(t)的最小值>
,解出不等式的解集求出m的范围.
解答:解:(Ⅰ)f′(x)=3mx
2-6(m+1)x+n.
因为x=1是f(x)的一个极值点,所以f'(1)=0,即3m-6(m+1)+n=0.
所以n=3m+6.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f′(x)=3mx
2-6(m+1)x+3m+6=3m(x-1)[x-(1+
)]
当m<0时,有1>1+
,当x变化时f(x)与f'(x)的变化如下表:
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由上表知,当m<0时,f(x)在(-∞,1+
)单调递减,在(1+
,1)单调递增,在(1,+∞)单调递减.
(Ⅲ)由已知,得f′(x)>3m,即3m(x-1)[x-(1+
)]>3m,
∵m<0.∴(x-1)[x-1(1+
)]<1.(*)
1
0x=1时.(*)式化为0<1怛成立.
∴m<0.
2
0x≠1时∵x∈[-1,1],∴-2≤x-1<0.
(*)式化为
<(x-1)-
.
令t=x-1,则t∈[-2,0),记g(t)=t-
,
则g(t)在区间[-2,0)是单调增函数.∴g(t)
min=g(-2)=-2-
=-
.
由(*)式恒成立,必有
<-
?-
<m,又m<0.∴-
<m<0.
综上1
0、2
0知-
<m<0.
点评:考查学生利用待定系数法求函数解析式的能力,利用导数研究函数极值和单调性的能力,以及掌握不等式恒成立的条件.