Question

求由直线x=1,x=2,y=0及曲线y=围成的图形的面积S.

Answer 1

分析:利用求曲边梯形面积的步骤逐步求解.

解:(1)分割

在区间［1,2］内等间隔地插入n-1个点,将它等分成n个小区间：［1,］,［,］,…,［,2］,记第i个区间为［］(i=1,2,…,n)，其长度为Δx=

分别过上述n-1个点作x轴的垂线,把曲边梯形分成n个小曲边梯形(如下图)，它们的面积记作ΔS₁,ΔS₂,…,ΔS_n.

则小曲边梯形面积的和为S=.

(2)近似代替

记f(x)=,当n很大，即Δx很小时，在区间上，可以认为f(x)=的值变化很小，近似地等于一个常数,不妨认为它等于.从图形上看，就是用平行于x轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边.这样,在区间上，用小矩形面积ΔS_i′近似地代替ΔS_i，即在局部小范围内“以直代曲”，则有ΔS_i≈ΔS_i′=f(i=1,2,…,n).

(3)求和

小曲边梯形的面积和S_n=

从而得到S的近似值S=S_n≈

(4)取极限

分别将区间［1,2］等分成8,16,20,…等份时,S_n越来越趋向于S,当n趋向于+∞时,S_n无限趋近于.

由此可知图形面积为.

绿色通道:本题主要考查曲边梯形面积的求解方法.用分割、近似代替、求和、取极限这四个步骤可以求曲边多边形的面积,它体现了一种化整(分割)为零,积零为整(逼近)的思想方法.