Question

设k∈R，k≠0，函数f（x）=，F（x）=f（x）-kx．
（I）试讨论函数F（x）的单调性；
（II）设0＜k＜，求证：F（x）=0有三个不同的实根．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵f（x）=，F（x）=f（x）-kx．
∴F（x）=
∴F′（x）= 
∴当x≥2，方程=0在k＜0或k≥1时，无解，在0＜k＜1时为x=+1，
当x＜2时，方程=0在k≥0时，无解，在k＜0时为x=2-．
∴当0＜k＜1时，函数F（x）在（-∞，2）上递减，在（2，+1）上递增，在（+1，+∞）上递减；
当k≥1时，函数F（x）在（-∞，+∞）上是减函数；
当k＜0时，函数F（x）在（-∞，2-）上递增，在（2-，2）上递减，在（2，+∞）上递增．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…
证明（Ⅱ）∵0＜k＜，由（Ⅰ）可知，F（x）的取值随着x的变化如下：

∴当x=2时，F（x）极小值为-2k，
当x=+1，F（x）极大值为ln-k-1，
∵0＜k＜，
∴ln-k-1＞--1=-＞0，
∴F（x）极小值-2k＜0，F（x）极大值为ln-k-1＞0，
因此，0＜k＜时，方程F（x）=0一定有三个不同的实根．
分析：（I）已知中函数f（x）的解析式，可求出F（x）=f（x）-kx的解析式，进而求出其导函数的解析式，分别讨论当x≥2，方程=0的解，也当x＜2时，方程=0的解，进而可对k进行分类讨论得到函数F（x）的单调性；
（II）由（I）中结论，可得当0＜k＜时，函数的单调性，及对应的极值点，分别判断极大值与极小值的符号，进而可判断出F（x）=0有三个不同的实根．
点评：本题考查的知识点是函数单调性的判断与证明，分段函数的解析式求法，根的存在性及根的个数判断，其中利用导数法，判断出函数F（x）的单调性是解答本题的关键．