Question

 

在数列中，=0，且对任意k，成等差数列，其公差为2k.

（Ⅰ）证明成等比数列；

（Ⅱ）求数列的通项公式；

（Ⅲ）记，证明.

 

Answer 1

【答案】

 【解析】本小题主要考查等差数列的定义及前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法，满分14分。

（I）证明：由题设可知，，，，，

。

从而，所以，，成等比数列。

（II）解：由题设可得

所以

            

             .

由，得 ，从而.

所以数列的通项公式为或写为，。

（III）证明：由（II）可知，，

以下分两种情况进行讨论：

（1）   当n为偶数时，设n=2m

若，则，

若，则

     

      .

所以，从而

（2）   当n为奇数时，设。

所以，从而

综合（1）和（2）可知，对任意有