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    为了加快经济的发展，某省选择两城市作为龙头带动周边城市的发展，决定在两城市的周边修建城际轻轨，假设为一个单位距离，两城市相距个单位距离，设城际轻轨所在的曲线为，使轻轨上的点到两城市的距离之和为个单位距离，

    （1）建立如图的直角坐标系，求城际轻轨所在曲线的方程；

    （2）若要在曲线上建一个加油站与一个收费站，使三点在一条直线上，并且个单位距离，求之间的距离有多少个单位距离？

    （3）在两城市之间有一条与所在直线成的笔直公路，直线与曲线交于两点，求四边形的面积的最大值.

     

    【答案】

    （1）（2）8（3）

    【解析】(1)根据题目条件选取适当的坐标系，本小题应该以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，这样得到的轨迹方程是标准方程，有利于下一步的计算.

    （2）由椭圆的定义可知|AM|+|AN|+|BM|+|BN|=20,|AM|+|AN|=12,所以|MN|=8.

    (3)先求出四边形的面积的表达式，设直线方程为y=x+t,然后与椭圆方程联立，消x后得到关于y的一元二次方程，借助韦达定理，根据,

    求出面积关于t的函数表达式，利用函数的方法求最值即可.

    解：(1)以AB为x轴，以AB中点为原点O建立直角坐标系，设曲线E上点，

    ∵|PA|+|PB|=10＞|AB|=8

    ∴动点轨迹为椭圆，且a=5,c=4,从面b=3.

    ∴曲线E的方程为                                                     4分

    (2)由|AM|+|AN|+|BM|+|BN|=20,|AM|+|AN|=12,所以|MN|=8                         8分

    (3)将代入，得

    设

    所以当t=0时，面积最大是，此时直线为l:y=x  13分

     

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•蓝山县模拟）为了加快经济的发展，某省选择A、B两城市作为龙头带动周边城市的发展，决定在A、B两城市的周边修建城际轻轨，假设10km为一个单位距离，A、B两城市相距8个单位距离，设城际轻轨所在的曲线为E，使轻轨E上的点到A、B两市的距离之和为10个单位距离．
    （1）建立直角坐标系，求城际轻轨所在曲线E的方程；
    （2）若要在曲线E上建一个加油站M与一个收费站N，使M、N、B三点在一条直线上，并且AM+AN=12个单位距离，求M、N之间的距离有多少个单位距离？
    （3）在A、B两城市之间有一条与AB所在直线成45°的笔直公路l，直线l与曲线E交于P，Q两点，求四边形PAQB的面积的最大值．

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    科目：高中数学 来源：2011-2012学年福建省高三5月模拟考试文科数学试卷（解析版） 题型：解答题

    （本小题满分12分）

    为了加快经济的发展，某市选择A、B两区作为龙头带动周边地区的发展，决定在A、B两区的周边修建城际快速通道，假设A、B两区相距个单位距离，城际快速通道所在的曲线为E，使快速通道E上的点到两区的距离之和为4个单位距离.

       （Ⅰ）以线段AB的中点O为原点建立如图所示的直角坐标系，求城际快速通道所在曲线E的方程；

       （Ⅱ）若有一条斜率为的笔直公路l与曲线E交于P，Q两点，同时在曲线E上建一个加油站M（横坐标为负值）满足,求面积的最大值．                                

     

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    为了加快经济的发展，某省选择A、B两城市作为龙头带动周边城市的发展，决定在A、B两城市的周边修建城际轻轨，假设10km为一个单位距离，A、B两城市相距8个单位距离，设城际轻轨所在的曲线为E，使轻轨E上的点到A、B两市的距离之和为10个单位距离．
    （1）建立直角坐标系，求城际轻轨所在曲线E的方程；
    （2）若要在曲线E上建一个加油站M与一个收费站N，使M、N、B三点在一条直线上，并且AM+AN=12个单位距离，求M、N之间的距离有多少个单位距离？
    （3）在A、B两城市之间有一条与AB所在直线成45°的笔直公路l，直线l与曲线E交于P，Q两点，求四边形PAQB的面积的最大值．

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    科目：高中数学 来源：蓝山县模拟 题型：解答题

    为了加快经济的发展，某省选择A、B两城市作为龙头带动周边城市的发展，决定在A、B两城市的周边修建城际轻轨，假设10km为一个单位距离，A、B两城市相距8个单位距离，设城际轻轨所在的曲线为E，使轻轨E上的点到A、B两市的距离之和为10个单位距离．
    （1）建立直角坐标系，求城际轻轨所在曲线E的方程；
    （2）若要在曲线E上建一个加油站M与一个收费站N，使M、N、B三点在一条直线上，并且AM+AN=12个单位距离，求M、N之间的距离有多少个单位距离？
    （3）在A、B两城市之间有一条与AB所在直线成45°的笔直公路l，直线l与曲线E交于P，Q两点，求四边形PAQB的面积的最大值．

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